\documentclass[14pt]{extarticle}
\usepackage[left=30mm, top=15mm, right=20mm, bottom=15mm, nohead, footskip=10mm]{geometry}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{listings}

\begin{document}

\begin{center}
\hfill \break
\large{Министерство науки и высшего образования Российской федерации}\\
\footnotesize{ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ}\\ 
\footnotesize{ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ}\\
\small{\textbf{«АЛТАЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»}}\\
\hfill \break
\normalsize{Институт цифровых технологий, электроники и физики}\\
 \hfill \break
\normalsize{Кафедра вычислительной техники и электроники}\\
\hfill\break
\hfill \break
\hfill \break
\hfill \break
\large{Курс <<Матемагическое мебелирование>>\\ Отчет по хреновой работе №451\\ <<Изучение дифтерезианского уравнения второго погребка>>}\\
\end{center}
\hfill \break
\hfill \break
\hfill \break
\hfill \break
\hfill \break
 
\normalsize{
  \begin{flushright}
    \begin{tabular}{rcr}
      & Cдал анализы & \underline{\hspace{3cm}}\\\\
      & Принял на грудь & \underline{\hspace{3cm}}
    \end{tabular}
  \end{flushright}
}
\hfill \break
\hfill \break
\hfill \break
\hfill \break
\hfill \break
\hfill \break
\begin{center} Барнаул 2035 \end{center}
\thispagestyle{empty} 
\newpage
\section{Цель работы}
Тыры-пыры
\newpage
\section{Теотупическое изучение дифтеризианского соравнения}
Дано уравнение:
\begin{equation}
  \ddot{x} - \alpha\dot{x} + \beta\cos{(x)} = 0;
\end{equation}

Преобазуем его в обезразмененную форму и изучим поведедение фунгции $x$.

Перед членом со старшей проивзводной нет коэффицициента, поэтому на него не нужно делить. Сделаем замену:
\begin{equation}
  \begin{aligned}
    &t = \mu_t \tau;\\
    &\frac{dx}{dt} =\frac{d}{d(\mu_t \tau)}\left(x\right) = \frac{1}{\mu_t}\frac{dx}{d\tau};\\
    &\frac{d^2x}{dt^2} =\frac{d}{d(\mu_t \tau)}\left(\frac{d}{d(\mu_t \tau)}\left(x\right)\right) = \frac{1}{\mu^2_t}\frac{d^2x}{d\tau^2}.
  \end{aligned}
\end{equation}
Примем, что далtее время в $t$ более примяняться не будет, паэтамо можно принять, шта
\begin{equation}
  \frac{d^2x}{d\tau^2} = \ddot{x}; \qquad \frac{dx}{d\tau} = \dot{x}.
\end{equation}
Подставим замену в уравенние
\begin{equation}
  \begin{aligned}
    &\frac{1}{\mu_t^2}\ddot{x} - \alpha \frac{1}{\mu_t}\dot{x} + \beta\cos{(x)} = 0;\\
    &\ddot{x} - \alpha \mu_t\dot{x} + \beta\mu_t^2\cos{(x)} = 0.
  \end{aligned}
\end{equation}
Отметим, что кофефициент при косцинусе не является строго необходимым и на качевстенное поведение системы не влияет, поэтому с помощчю виличыны $\mu_t$ его можно свести к едининице.

Получим
\begin{equation}
  \begin{aligned}
    &\beta\mu_t^2=1;\\
    &\mu_t = \frac{1}{\sqrt{\beta}};\\
    &\ddot{x} - \gamma\dot{x} + \cos{(x)} = 0, \qquad \gamma = \frac{\alpha}{\sqrt{\beta}}.
  \end{aligned}
\end{equation}

Далее необходимо разделить уравенние на систему для понижения его поярдка и нахождждения особых точекх.
\begin{equation}
  \left\lbrace
  \begin{aligned}
    &\dot{x} = y;\\
    &\dot{y} = \gamma y - \cos{(x)}.
  \end{aligned}
  \right.
\end{equation}
Особые точки такой системы это $(\pi/2+\pi n, 0)$. Для опремножения типа особых точек необходимо линеаризовать систему вблизи каждой из них.
\begin{equation}
  \begin{aligned}
    &a = \left.\frac{\partial y}{\partial x}\right|_{x_0,y_0} = 0; && b = \left.\frac{\partial y}{\partial y}\right|_{x_0,y_0} = 1;\\
    &c = \left.\frac{\partial \left(\gamma y - \cos{(x)}\right)}{\partial x}\right|_{x_0,y_0} = \left.{\sin{(x)}}\right|_{x_0,y_0}; && d = \left.\frac{\partial \left(\gamma y - \cos{(x)}\right)}{\partial y}\right|_{x_0,y_0} = \gamma.
  \end{aligned}
\end{equation}
Система вблизи особой точки принимает вид
\begin{equation}
  \left\lbrace
  \begin{aligned}
    &\dot{x} = a(x-x_0)+b(y-y_0);\\
    &\dot{y} = c(x-x_0)+d(y-y_0).
  \end{aligned}
  \right.
\end{equation}
Для точек $(\pi/2+2\pi n,0)$ набор коэфефицийэнтов принимает вид $(0,1,1,\gamma)$, а для $(-\pi/2+2\pi n,0)$ --- $(0,1,-1,\gamma)$.
Для первого набора собстбенные числа вещественные, разных знаков --- особая точка типа <<седло>>, фазовые траектории --- гиперболы.

Для второго набора совстбенные числа  либо вещественные, положительные (неустойчивый <<узел>>, параболы), либо комплексно-сопярженные (неустойчивый <<фокус>>, спирали). Первый вариант получается при $\gamma>2$, второй --- при $\gamma<2$, промежуточная величина $\gamma=2$ --- дикритический <<узел>>.

Возьмем $\gamma=0.4$.
\paragraph{Итог}$\quad$\\
$(\pi/2+2\pi n,0)$ --- <<седло>>, гиперболы.\\
$(-\pi/2+2\pi n,0)$ --- неустойчивый <<фокус>>, спирали.
\newpage
\section{Практика}

Моделирование вблизи точки $(\pi/2,0)$, квадратная область со стороной $2~\cdot~10^{-3}$. Результат на рис. \ref{first}. Модерлирование подтдвердило характер фазовых кривых вблизи особой точки. Фазовые траектории --- гиперболы.
\begin{figure}[!h]
  \centering
  \includegraphics[width=0.4\textwidth, angle=-90]{ch2-p1/out1.ps}
  \caption{Точка $(\pi/2,0)$\label{first}}
\end{figure}

Моделирование вблизи точки $(-\pi/2,0)$, квадратная область со стороной $2~\cdot~10^{-3}$. Результат на рис. \ref{second}. Моделиворание подтвердило характер фазовых кривых вблизи особой точки. Фазовая траектория --- спираль.
\begin{figure}[!h]
  \centering
  \includegraphics[width=0.4\textwidth, angle=-90]{ch2-p1/out2.ps}
  \caption{Точка $(\pi/2,0)$\label{second}}
\end{figure}

Моделирование общей фазовой картины, квадратная область со стороной $20$. Результат на рис. \ref{third}.
\begin{figure}[!h]
  \centering
  \includegraphics[width=0.4\textwidth, angle=-90]{ch2-p1/out3.ps}
  \caption{Точка $(\pi/2,0)$\label{third}}
\end{figure}

Видно, как траектории отталкиваются от всех особых точек, к гиперболам даже и не подходят. На рисунке изображено множество фазовых траекторий, траетории в нижней части фазовой плоскости уходят налево, в верхней части --- направо. С течением времени величина $y$ растет по модулю.
\newpage
\section{Вывод}
Что-то хрень какая-то.
\end{document}
